قانون حفظ الطاقة4عبد الرحمن دويك تاسع أ

انحفاظ الطاقة في ميكانيكا نيوتن[عدل]

طريقان مختلفان لتحرك جسم من نقطة 1 إلى نقطة أخرى 2 في مجال تدرجي منتظم .
عند تحرك جسم في مجال كمجال الجاذبية الأرضية يكون مجموع الطاقة الحركة K و طاقة وضعه V مساويا لطاقتة الكلية E = K + V وهي تبقى ثابتة لا تتغير.
يرمز لمعامل تدرج المجال بالرمز :
\mathbf{F} = - \nabla V
وتدل الإشارته السالبة إلى أن التأثير على الجسم ينخفض بزيادة بعد الجسم عن مصدر المجال (يقل انجذاب الأشياء للأرض كلما اتعدت عن مركز الأرض ).
وعندما تتحرك جسم لمدة زمنية قدرها t في مثل هذا المجال (سواء كان مجال الجاذبية أو مجالا كهربائيا) واتخذ طريقين للوصول إلى نقطة أخرى يكون كمية الشغل الذي قام به الجسم غير معتمدا على الطريق الذي اتبعه الجسم . أي بصرف النظر عن اختلاف الطرق التي يتخذها جسم ما للوصول إلى نقطة معينة في المجال المؤثر عليه يكون الشغل المؤدى منه مساويا الفرق بين طاقة وضعه عند نقطة النهاية ونقطة البداية .
ويعرف الشغل المؤدى W بالتكامل الزمني لمضروب القوة في الإزاحة :
W = \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{x}_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathrm d\mathbf x(t)
= \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt\ ,\quad \text{where} \quad \mathbf v = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}.
حيث v هي سرعة الجسم ، وهي تغير المسافة بالنسبة للزمن .
ويشكل عنصر التكامل المشتقة السالبة لطاقة الوضع V(\mathbf{x}(t)), حيث :
\mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) =-\nabla V(\mathbf x(t))\cdot \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}=
-\sum_i \frac{\partial}{\partial x^i}V \frac{\mathrm d x^i}{\mathrm d t}=
- \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\,.

رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition
وهذا يعطينا "الشغل " W بعد إجراء التكامل :
W = -\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\, \mathrm dt=
-V(\mathbf x(t_2))+V(\mathbf x(t_1)) = V_1 - V_2\,.
وتنطبق تلك المعادلة على نقطتين على مسار الجسم .
وتنطبق القانون الثاني لنيوتن علي حركة الجسم :
\mathbf F=m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf v\,.
وافتراض أن كتلة الجسم ثابته ، فتنطبق على مساره المعادلة:
\begin{align}
W &= \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt
= m \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)\right) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt \\
&= m \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)^2 \mathrm dt
= \frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_2)-\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_1) \\
&= K_2 - K_1
\end{align}
ويزيد الشغل المؤدى على الجسم طاقة حركته:
T = \frac{1}{2}\,m\,\mathbf v^2
ويمكننا إعادة تشكيل المعادلة فنحصل على الصيغة :
V_1 - V_2 = K_2 - K_1
وبالتالي:
K_1 + V_1 = K_2 + V_2.
ونكون بذلك قد أثبتنا أن مجموع طاقة الحركة و طاقة الوضع لجسم بعد ازاحته تكون متساوية . وهذا هو قانون انحفاظ الطاقة .
وعندما نفترض حركة رقاص في عدم وجود احتكاك ، نجد أن مجموع طاقتي الحركة والوضع لا تتغير مع الزمن . وعندما نقوم بتحريك الرقاص في اتجاه وتركناه فإنه يهتز بين نقطتي العودة ، وتصل سرعته أعلى قدر لها عند نقطة النهاية الصغرى للمجال (أقل نقطة ارتفاعا) . وعند نقطتي العودة تكون طاقة الحركة مساوية للصفر وتبلغ طاقة الوضع أقصى قدر لها . ويعتمد مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع للجسم على مقدار الإزاحة الأولية التي نزيحه إليها بالنسبة لبعدها عن نقطة السكون (النقطة الوسطية).

=626caad87a318d1aba0cd9a96db09f44&cvf[1]=dc488689001098702c5e1f7a13726aa3&eval=plus&p_vote=9986]+ ---- =c0ce4ab757c5190fee0bbc5305d7dec1&cvf[1]=510060f692d8e27919caa1e79c41a978&eval=minus&p_vote=9986]- انحفاظ الطاقة في ميكانيكا نيوتن[عدل] طريقان مختلفان لتحرك جسم من نقطة 1 إلى نقطة أخرى 2 في مجال تدرجي منتظم . عند تحرك جسم في مجال كمجال الجاذبية الأرضية يكون مجموع الطاقة الحركة K و طاقة وضعه V مساويا لطاقتة الكلية E = K + V وهي تبقى ثابتة لا تتغير. يرمز لمعامل تدرج المجال بالرمز : \mathbf{F} = - \nabla V  وتدل الإشارته السالبة إلى أن التأثير على الجسم ينخفض بزيادة بعد الجسم عن مصدر المجال (يقل انجذاب الأشياء للأرض كلما اتعدت عن مركز الأرض ). وعندما تتحرك جسم لمدة زمنية قدرها t في مثل هذا المجال (سواء كان مجال الجاذبية أو مجالا كهربائيا) واتخذ طريقين للوصول إلى نقطة أخرى يكون كمية الشغل الذي قام به الجسم غير معتمدا على الطريق الذي اتبعه الجسم . أي بصرف النظر عن اختلاف الطرق التي يتخذها جسم ما للوصول إلى نقطة معينة في المجال المؤثر عليه يكون الشغل المؤدى منه مساويا الفرق بين طاقة وضعه عند نقطة النهاية ونقطة البداية . ويعرف الشغل المؤدى W بالتكامل الزمني لمضروب القوة في الإزاحة : W = \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{x}_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathrm d\mathbf x(t) = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt\ ,\quad \text{where} \quad \mathbf v = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}. حيث v هي سرعة الجسم ، وهي تغير المسافة بالنسبة للزمن . ويشكل عنصر التكامل المشتقة السالبة لطاقة الوضع V(\mathbf{x}(t)), حيث : \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) =-\nabla V(\mathbf x(t))\cdot \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}=  -\sum_i \frac{\partial}{\partial x^i}V \frac{\mathrm d x^i}{\mathrm d t}= - \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\,. رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition وهذا يعطينا "الشغل " W بعد إجراء التكامل : W = -\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm dV(\mathbf x(t))}{\mathrm dt}\, \mathrm dt= -V(\mathbf x(t_2))+V(\mathbf x(t_1)) = V_1 - V_2\,. وتنطبق تلك المعادلة على نقطتين على مسار الجسم . وتنطبق القانون الثاني لنيوتن علي حركة الجسم : \mathbf F=m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf v\,.  وافتراض أن كتلة الجسم ثابته ، فتنطبق على مساره المعادلة: \begin{align} W &= \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F(\mathbf x(t)) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt = m \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)\right) \cdot \mathbf v(t) \, \mathrm dt \\ &= m \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \mathbf v(t)^2 \mathrm dt = \frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_2)-\frac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^2(t_1) \\ &= K_2 - K_1 \end{align} ويزيد الشغل المؤدى على الجسم طاقة حركته: T = \frac{1}{2}\,m\,\mathbf v^2 ويمكننا إعادة تشكيل المعادلة فنحصل على الصيغة : V_1 - V_2 = K_2 - K_1 وبالتالي: K_1 + V_1 = K_2 + V_2. ونكون بذلك قد أثبتنا أن مجموع طاقة الحركة و طاقة الوضع لجسم بعد ازاحته تكون متساوية . وهذا هو قانون انحفاظ الطاقة . وعندما نفترض حركة رقاص في عدم وجود احتكاك ، نجد أن مجموع طاقتي الحركة والوضع لا تتغير مع الزمن . وعندما نقوم بتحريك الرقاص في اتجاه وتركناه فإنه يهتز بين نقطتي العودة ، وتصل سرعته أعلى قدر لها عند نقطة النهاية الصغرى للمجال (أقل نقطة ارتفاعا) . وعند نقطتي العودة تكون طاقة الحركة مساوية للصفر وتبلغ طاقة الوضع أقصى قدر لها . ويعتمد مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع للجسم على مقدار الإزاحة الأولية التي نزيحه إليها بالنسبة لبعدها عن نقطة السكون (النقطة الوسطية).

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

المصدر : مملكة العلوم : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]