استنباط حديث لمعادلة شرودنغر

صاغ شرودنجر عام 1926 معادلته واضعا فيها بعض المبادئ الفيزيائية التي تتكئ عليها بعض الظواهر الكمومية المعروفة في ذلك الوقت. وتعتمد رياضيات معادلة شرودنجر على مبدأ التواصل لدالة هاميلتون التي تعطي الطاقة الكلية :

E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V(\mathbf{r},t)
وبالتعويض عن الطاقة وزخم الحركة والمكان في الميكانيكا الكلاسيكية باستخدام معاملات ميكانيكية كمومية :

\begin{matrix} E &\rightarrow& \hat E &=& \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \\
\mathbf{p} &\rightarrow& \mathbf{\hat p} &=& -\mathrm{i}\hbar \nabla \\
\mathbf{r} &\rightarrow& \mathbf{\hat r} &=& \mathbf{r}\end{matrix}
ثم تطبيق الدالة الموجية \psi=\psi(\mathbf{r},t) ergibt التي كانت معروفة في علم البصريات :

\mathrm i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + V \psi
.
بهذا تحولت دالة هاميلتون إلى معامل هاميلتون Hamilton-Operator.
ومن الوجهة التاريخية طبق شرودنجر وصف دي برولي للجسيم الحر ، وقام بتوليف متناظرات بين الفيزياء والموجات الكهرومغناطيسية في هيئة ازدواجية موجة-جسيم وتطبيق الصفات الموجية للجسيمات :

\psi(\mathbf{r},t) = A \; \exp \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \; (E t - \mathbf{p}\cdot \mathbf{r})\right)
,
حيث A ثابت.
تلك المعادلة الموجية هي عبارة عن أحد حلول معادلة شرودنجر وتحتوي على V(\mathbf{r},t) = 0.
ويبقى مع ذلك التفسير الفيزيائي للدالة الموجية مفتوحا غير واضحا. وفي التفسيرات الإحصائية الجارية على ميكانيكا الكم تعطي مربع القيمة |\psi|^2 احتمال وجود الجسيم في موقع معين (وهذا هو تفسير ماكس بورن الألماني).