الدالة الموجية لمعادلة شرودنجر

من خلال تطور الفيزياء بعد ظهور النظرية النسبية وميكانيكا الكم اتضحت الخاصية الموجية والجسيمية للضوء، والتي على أثرها استطعنا أن نفهم الكثير من الظواهر الفيزيائية المتعلقة بتفاعل الضوء مع المادة مثل الظاهرة الكهروضوئية ظاهرة كمبتون وغيرها من الظواهر التي سبق وان تحدثنا عنها في هذه السلسلة من الحلقات. وقد وجدنا إن الضوء هو أشعة كهرومغناطيسية مكون من فوتونات تحمل طاقة E وكمية حركة P حيث إن

[align=center]Energy of the photon E = h v
Momentum of the photon p = h/lambda[/align]

وهاتين المعادلتين جاءت بناء على تطبيق نظرية الكم على الشعاع الكهرومغناطيسي ويظهر في المعادلة كلا من الخصائص الموجية في الطرف الأيمن في التردد والطول الموجي بينما تظهر الخواص الجسيمية في الطرف الأيسر من المعادلتين في الطاقة وكمية الحركة.

في هذه الحلقة سوف نتحدث عن الجسيمات المادية والتي تم إثبات إن لها خاصية موجية بالإضافة إلى الخاصية الجسيمية وسوف نشرح كيف يمكن النظر للجسيم على انه يتصرف كموجة وما هي طبيعة هذه الموجة ومما تتكون وهي الدالة الموجية وكذلك سنحاول إيجاد معادلة تربط الخواص الموجية والخواص الجسيمة للجسيمات المادية مثل المعادلتين السابقتين ولكن هذه المعادلة هي معادلة شرودنجر وسوف نتعرف أيضا عن أهمية هذه المعادلة.

[align=center][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][/align]

لقد فكر العالم ديبرولي وهو عالم فرنسي في الجسيمات وتساءل لماذا لا تتصرف الجسيمات بازدواجية مثلها مثل الفوتونات (الاشعة الكهرومغناطيسية) وبناء على هذا التساؤل وضع فرضيته المشهورة والتي تنص على إن الجسيمات أيضا سلوك موجي وان للجسيم طول موجي يعطي بالعلاقة

[align=center][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][/align]

حيث P كمية حركة الجسيمة و m كتلته و v سرعة الجسيم و h ثابت بلانك.

هذه الفرضية ساهمت في تفسير تكميم مستويات الطاقة التي ادخلها العالم بور على نموذجه لذرة الهيدروجين وكذلك كانت الاساس الذي اعتمد عليه العالم شرودنجر في العام 1925 لوضع معادلة شرودنجر.

عندما وجهت الأسئلة لدبرولي عن طبيعة موجة الجسيم كالإلكترون مثلا قال العالم ديبرولي انه ليس مهما ان نعرف طبيعة موجة الإلكترون ويكفي أن نثبت أن الإلكترون يحيد ويتداخل وهي من الظواهر الفيزيائية للموجات لنثبت أن الإلكترون له خصائص موجية ويتصرف كموجة. كما إن الضوء عرف أن له سلوك موجي قبل معرفة إن موجة الضوء هي تغير في المجال الكهربي والمغناطيسي ينتشر في الفراغ بسرعة 300000 كيلومتر في الثانية ولهذا سميت بالأشعة الكهرومغناطيسية عند التعامل مع الخاصية الموجية للضوء وسميت بالفوتون عند التعامل مع الخاصية الجسيمية له.
وبالفعل تمكن العلماء من التحقق من فرضية دبرولي عمليا من خلال تجربة دافيسن وجيرمر واثبات إن الالكترونات تتصرف كأنها أمواج عندما أظهرت نتائج التجربة حيود الالكترونات عند مرورها في بلورة النيكل.

الموجة المعبرة للجسيمات المادية
ان اكتشاف الخاصية الموجية للجسيمات المادية جاء متأخرا كثيرا عن اكتشاف الخاصية الجسيمة للضوؤ وذلك لانه بناء على فرضية دبرولي فان هذه الخواص الموجية للجسيمات لا تظهر الا في الابعاذ الذرية لان الطول الموجي سيكون متناهي في الصغر للاجسام الكبيرة فمثلا لو حسبنا طول الموجة لجسم كتلته 1kg لوجدنا انها تساوي

[align=center]p = h/lambda = h/mv = 6.6x10-24A;[/color[/align]

وهذا بالطبع طول موجي صغير جدا جدا ولذلك فان الخواص الجسيمة لا تظهر الا في الجسميات التي لها كتل صغيرة مثل الالكترون .

لوصف الموجة المصاحبة للجسميات المادية وحاولنا ان نعرف ما هي هذه الموجة وما هو الذي يتذبذب في الموجة لوجدنا استحالة لمعرفة ذلك. فعلى سبيل المثال الموجة التي تنتشر في حبل فان جزئيات الحبل هي التي تتذبذب وكذلك لو حدثت موجة في الماء فان جزئيات الماء هي التي تتذبذب وفي حالة الاشعة الكهرومغناطيسية فإننا نعلم إن الذي يتذبذب هو المجال الكهربي وعمودي عليه المجال المغناطيسي. إذا نلاحظ هنا إن هذه الأمواج معروف فيها ما هو الذي يتذبذب بالتحديد ولكن في حالة الجسمات المادية فان الذي يتذبذب غير معروف حتى الآن بالرغم من إننا نعرف أن هناك الإلكترون موجة.

نعيد طرح الموضوع مرة أخرى
يمكن وصف الموجات الكهرومغناطيسية (الفوتونات) على أنها تغير في المجال الكهربي والمغناطيسي في الفراغ. أي أن الموجة المصاحبة للفوتون هي تلك الموجة الكهرومغناطيسية. وإذا كان الأمر كذلك فماذا عن الموجات المصاحبة للجسيات المادية؟! ما الذي يتذبذب في هذه الحالة لكي نقول أن الإلكترون أو أي جسيم مادي آخر يظهر خواص موجية؟
وللإجابة على هذا التساؤل سوف نربط بين الخواص الموجية والجسيمية للموجات الكهرومغناطيسية،

بناءً على النظرية الكهرومغناطيسية يمكن التعبير عن شدة الشعاع الكهرومغناطيسي (I) من وجهة النظر الموجية على النحو التالي:

[align=center]I = e E^2 c (الوصف الموجي)[/align]

كما يمكن التعبير عن شدة الشعاع الكهرومغناطيسي من وجهة النظر الجسيمية بالمعادلة بدلالة عدد الفوتونات الساقطة (N) على وحدة المساحات في وحدة الزمن

[align=center]I = N hv (الوصف الجسيمي)[/align]

وحيث أن كلا من المعادلتين تعبران عن شدة الشعاع الكهرومغناطيسي إذا يمكن مساواة الطرف الأيمن من المعادلتين

[align=center]e E^2 c = N hv[/align]

وحيث أن شدة الشعاع الكهرومغناطيسي I تعبر عن احتمالية مشاهدة فوتون عند أي نقطة في الفراغ خلال وحدة الزمن بمعنى اخر ان احتمالية مشاهدة فوتون في أي نقطة في الفراغ تعتمد على شدة الاشعة I ولان I تتناسب طرديا مع مربع سعة الموجة الكهربية E لذلك نستطيع ان نستنتج ان الاحتمالية تعتمد على مربع سعة المجال الكهربي للموجة

الاحتمالية لكل وحدة زمن تتناسب مع E^2 يتناسب مع N

وبهذا لا يكون المجال الكهربي يعبر عن القوة التي تؤثر على وحدة الشحنات فقط بل له معنى فيزيائي وهو أن المجال الكهربي دالة مربعها يعبر عن احتمالية رصد فوتون عند نقطة في الفراغ في وحدة الزمن..

تفسير الطبيعة الموجية للجسيمات
نفترض العلاقة بين احتمالية مشاهدة الجسيم ومربع سعة موجته المجهولة الهوية يماثل تماما العلاقة بين احتمالية مشاهدة الفوتون ومربع سعته E^2

فإذا رمزنا لسعة موجة الجسيم بالرمز y ونسميها الدالة الموجية wave function فإن الدالة الموجية y هي كمية فيزيائية مربعها y2 يتناسب طردياً مع احتمالية رصد الجسيم المادي عند نقطة معينة في الفراغ في وحدة الزمن..

وعلى هذا فإن الدالة الموجية للجسيم تماثل المجال الكهربي للفوتون, ومثلما تكون E دالة تعتمد على كلاً من الزمان والمكان فإن y أيضاً دالة في الزمان والمكان. وحيث انه من غير الممكن تحديد موقع أي فوتون عند لحظة معينة من الزمن بدقة متناهية ولكن من الممكن فقط تحديد الاحتمالية E2 لمشاهدة الفوتون في وحدة الزمن, وبالمثل من غير الممكن تحديد موقع أي جسيم مادي عند أي لحظة من الزمن بدقة متناهية ولكن من الممكن تحديد احتمالية وجوده y2 عند موقع في الفراغ في لحظة معينة وعلى هذا الأساس فإن الدالة الموجية y للجسيم تعبر عن توزيع احتمالية تواجده المكاني..

الميكانيكا الموجية wave mechanics هو فرع من فروع الفيزياء يعني بحساب قيم y في حالات معينة مثل الدالة الموجية للإلكترون في الذرة ومنها يمكن استنتاج طاقة الإلكترون وكمية حركته.

الخلاصة
كل جسيم يمكن التعبير عنه بواسطة الدالة الموحية ابساي وهي دالة في الموضوع والزمن ومربعها يعبر عن احتمالية ايجاد الجسيم في مكان محدد عند زمن معين.
استخدمت الدالة الموجية في معادلة شرودنجر، وتحتل شرودنجر أهمية كبيرة مثل اهمية قوانين نيوتن في الحفاظ على الطاقة في الميكانيكا الكلاسيكية.

[align=center]معادلة شوردنجر[/align]
هي معادلة تفاضلية وضعها العالم النمساوي اروين شرودنجر في العام 1925 تصف الدالة الموجية التي تحدد السلوك الموجي للجسيمات.

» تفسير الدالة الموجية
» استنباط حديث لمعادلة شرودنغر
» التسلسل التاريخي لمعادلة الحالة
» معادلة الحالة المعتمدة على الدالة
» المعادلة الموجية