استنباط تحويل ليجاندر

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة f(x) على المتغير x إلى اعتمادها على متغير آخر u حيث :
u=\frac{\partial f}{\partial x}
فعندما نصيغ الدالة f(x) المعتمدة على x
\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}x,
يصبح الدالة g(u) أيضا معتمدة على المتغير u .
\mathrm{d}g=\pm x\,\mathrm{d}u
وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل (\pm ux) نحصل على:
\mathrm{d}(\pm ux)=\pm(x\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}x).
وبالمقارنة ب \mathrm{d}f و \mathrm{d}g
نحصل على :
\mathrm{d}(\pm ux)=\mathrm{d}g \pm u\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}g \pm \mathrm{d}f.
أي أن :
\mathrm{d}g=\mathrm{d}(\mp f\pm ux),
وبعد إجراء التكامل نحصل على:
g(u)=\pm(-f(x(u))+ux(u)).
وتسمى الدالة g(u) دالة ليجاندر المحولة من الدالة f . ولا أهمية لإشارة الدالة g
لذلك يمكننا كتابة
g = ux - f oder g = f - ux
ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة g .