التسارع في الافلاك

رأينا أن التسارع يحدث عند تغير سرعة جسم "متحرك في خط مستقيم " بالنسبة للزمن ، ويحدث التسارع أيضا عند "تغير إتجاه السرعة " مع الزمن ، من أمثلة ذلك الدفع الذي نعانيه عندما يغير الترام إتجاه مساره في المنحيات ، هنا يتغير "إتجاه السرعة "وليس السرعة نفسها ، وفي حركة الكواكب التي تدور في مدارات حول الشمس فهي تعاني تسارع طوال الوقت بتغير إتجاه حركتها في كل ثانية وكل دقيقة وهي تدور حول الشمس، فسرعتها في المدار ثابتة وتدور الأرض حول الشمس دورة واحدة كل 365.2 يوم ، ولكنها تعاني التسارع لتغير "إتجاه" سرعتها المستمر، لهذا من الأصح أن نرمز للسرعة بمتجه السرعة ونرمز له بالرمز \vec a:
والآن سوف نستنبط التسارع في صيغته العامة أي في "حالة حركة الجسم في خط مستقيم" أو في "حالة الدوران في فلك ".
طبقا للتعريف التسارع هو تغير السرعة \mathrm{d} \vec{v} مع تغير الزمن \mathrm d t .
أي أن التسارع هو المشتقة التفاضلية للسرعة مع الزمن .
\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec v}(t)
ونظرا لأن السرعة هي المشتقة التفاضلية للمسافة مع الزمن (تغير المسافة مع الزمن) فيمكن حساب التسارع باشتقاق المشتقة التفاضلية الثانية "لمتجه المسافة " \vec r .
\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(t)}{\mathrm{d} t^2} = \ddot{\vec r}(t)
ويمكن حساب "متوسط التسارع" بطرح السرعتين \Delta v=v(t_2) - v(t_1) المقاستين عند نقطتين زمنيتن مختلفتين t_1 و t_2 وقسمته على الفرق بين الزمنين \Delta t=t_2-t_1 ، فنحصل على :
\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
يمكن اعتبار متجه السرعة بأنه حاصل ضرب قيمة السرعة v في وحدة المتجه {\hat{t}} :
\vec{v}=v\,\hat{t}
وتعطي المشتقة التفاضلية لهذه المعادلة بالنسبة إلى الزمن "التسارع" . مشتقة تخص تغير المسافة s على المنحنى (مماس الفلك):
\vec{a}=\frac{\mathrm d\vec v }{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d(v\hat t)}{\mathrm dt}=\left( \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} \right)\hat t +v\left( \frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt} \right)    mit    \frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt}=\underbrace{\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm ds}}_{\hat n/\rho}\underbrace{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}_{v}=\frac{v}{\rho} \hat n
\vec a =a_{t}\hat{t}+a_{n}\hat n = \dot{v}\hat t +\frac{v^{2}}{\rho } \hat n
وفيها يعني \rho نصف قطر انحناء الفلك و \hat n هو وحدة المتجه عموديا على مماس الفلك ، أي المتجه إلى المركز .
يمكن تقسيم التسارع \vec a إلى تسارع في أتجاه الحركة "تسارع في اتجاه المماس" ،
a_{t}=\dot{v}
و "تسارع عمودي عليه " في اتجاه المركز :
a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho }
وهنا نلاحظ أن :a_{t}=\dot{v} لها الوحدة متر/ثانية/ثانية ، أي أنها وحدة تسارع. وبالمثل نجد أن :a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho } أيضا لها الوحدة متر/ثانية/ثانية أي أنها هي الآخرى تعبر عن تسارع .
وتذكرنا تلك الحركة بحركة المقلاع ، وهي الفكرة وراء جهاز الطردالمركزي.