التسارع

تعريف التسارع

التسارع أو العجلة هو تغير السرعة مع الزمن وقد يكون موجبا أو سالبا وقد يساوي صفرا.

شرح للحالات الثلاثة

1 )موجبا : أي يكون اتجاه التسارع في اتجاه الحركة ، فالسرعة هنا تزداد مع الزمن أي إذا كانت السرعة 5 متر/ثانية والتسارع 5 متر /ثانية/ثانية. فالسرعة ستصبح بعد مرور 1 ثانية مساوية 10متر/الثانية وبعد ثانيتين تصبح 15 متر/الثانية.

2) سالبا : انخفاض السرعة مع الزمن (مثلا عند كبح السيارة) . يلاحظ هذا التسارع العكسي عند كبح السيارة ، مثل القيام بالضغط على دواسة المكابح في السيارة فتتباطئ سرعة السيارة بمعدل ثابت حتى تتوقف.

3) التسارع يساوي صفر (معدوم) : أي أن السرعة منتظمة لا تتغير مع مرور الزمن.

ويعرّف التسارع أو العجلة رياضيا بأنه "تغير السرعة مع الزمن ". فإذا كانت السرعة تقاس بالمتر في الثانية فإن التسارع يقاس بالمتر في الثانية في الثانية ، أي متر/ثانية/ثانية.


مثـــــال :

يقوم القطار من المحطة ويزيد من سرعته [أي يسير بعجلة (حالة تزايد السرعة )] حتي يصل إلى سرعة 70كيلومتر في الساعة ، ثم يسير بتلك السرعة المنتظمة لمدة نصف ساعة مثلا ، تكون فيه تسارعه (عجلته) مساوية للصفر. وعند اقترابه من المحطة التالية يكبح السائق مكبح القطار ليخفض من سرعته (عجلة سالبة الإشارة) تستمر نحو 20 ثانية مثلا تنخفض فيها السرعة رويدا رويدا حتى يتوقف القطار.

لذك نقول أن وحدة السرعة : كيلومتر في الساعة أو متر/الثانية.

أما وحدة العجلة (التسارع) : كيلومتر/الساعة/الساعة ، أو متر/ثانية/ثانية (تكتب أحيانا م/ث2).

من العجلات المعروفة عجلة الجاذبية الأرضية وهي تساوي 8و9 [[[متر في الثانية المربعة|متر/ثانية^2]]] ، لذلك تزداد سرعة الأشياء الساقطة حرا باستمرار.
معادلة رياضية

a = Δv / t

حيث

a: التسارع (العجلة)
Δv: هي فرق السرعة
t: الزمن

وحدة قياس التسارع هي متر لكل ثانية تربيع. م/ث2 .

أما إذا أردت تعيين الزمن فاستخدم العلاقة t = Δv / a

و إذا أردت تعيين المسافة فاستخدم العلاقة : x = v0t + 1/2 a.t2

حيث v0 هي السرعة الابتدائية.
التسارع في الفيزياء
الرقاص: يبين الشكل تغير مقدار واتجاه السرعة (v) والتسارع (a).

حسب قانون نيوتن الثاني فأن :-

F = m . a → a = F/m

حيث :

F = هي محصله القوى المؤثره على الجسم
m = هي كتله الجسم
a = هو التعجيل , ويكون اما موجب(+)أي انه تسارع أو (-)أي تباطوء

ويحدث التسارع إذا كان التعجيل باتجاه محصله القوى ، اما إذا كان التعجيل باتجاه معاكس لحركه القوى فانه يحدث تباطؤ.

مثال على التسارع حركة الرقاص حيث تتأرجح كتلة من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين دوريا ويكون التأرجح على ناحتي اتجاه جاذبية الأرض . عندما نزيح كتلة الرقاص مسافة إلى اليمين ثم نتركها فيتحرك البندول في اتجاه نقطة التوازن الواقعة على خط اتجاه الجاذبية ، وتتسارع سرعة الكتلة بسبب الجاذبية فيكون التسارع موجبا . تصل سرعة الكتلة أعلى مقدار لها عن تعديتها نقطة التوازن ، وتستمر في حركتها إلى الناحية الأخرى من الرقاص وتتباطأ سرعتها رويدا رويدا (تسارع سالب) حتى تصل إلى أعلى نقطة على قوس حركتها فتصبح سرعتها صفرا . ونظرا لارتفاع موضعها عن ارتفاع نقطة التوازن فهي ترتد في اتجاهه وتتزايد سرعتها من جديد (تسارع موجب) حتى تصل إلى نقطة التوازن فتصل سرعتها إلى أعلى قيمة ، وتعبر الكتلة نقطة التوازن على الناحية الأخرى وتبدأ سرعتها في التباطؤ (تسارع سالب) وهكذا .

نلاحظ أن القوة F كمية متجهة. وكذلك يشكل "التسارع" كمية متجهة ، أما الكتلة فهي كمية غير متجهة. فيكون من الأصح كتابة معادلة القوة في صيغتها المتجهة كالآتي: (أنظر أسفله)

\vec{F} = m . \vec{a}
التسارع في الأفلاك
حركة الكواكب في أفلاكها تكون مصحوبة بتسارع ، بسبب "تغير اتجاه" الحركة مع الزمن.


رأينا أن التسارع يحدث عند تغير سرعة جسم "متحرك في خط مستقيم " بالنسبة للزمن ، ويحدث التسارع أيضا عند "تغير إتجاه السرعة " مع الزمن ، من أمثلة ذلك الدفع الذي نعانيه عندما يغير الترام إتجاه مساره في المنحيات ، هنا يتغير "إتجاه السرعة "وليس السرعة نفسها ، وفي حركة الكواكب التي تدور في مدارات حول الشمس فهي تعاني تسارع طوال الوقت بتغير إتجاه حركتها في كل ثانية وكل دقيقة وهي تدور حول الشمس، فسرعتها في المدار ثابتة وتدور الأرض حول الشمس دورة واحدة كل 365.2 يوم ، ولكنها تعاني التسارع لتغير "إتجاه" سرعتها المستمر، لهذا من الأصح أن نرمز للسرعة بمتجه السرعة ونرمز له بالرمز \vec a:

والآن سوف نستنبط التسارع في صيغته العامة أي في "حالة حركة الجسم في خط مستقيم" أو في "حالة الدوران في فلك ".

طبقا للتعريف التسارع هو تغير السرعة \mathrm{d} \vec{v} مع تغير الزمن \mathrm d t .

أي أن التسارع هو المشتقة التفاضلية للسرعة مع الزمن .

\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec v}(t)

ونظرا لأن السرعة هي المشتقة التفاضلية للمسافة مع الزمن (تغير المسافة مع الزمن) فيمكن حساب التسارع باشتقاق المشتقة التفاضلية الثانية "لمتجه المسافة " \vec r .

\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(t)}{\mathrm{d} t^2} = \ddot{\vec r}(t)

ويمكن حساب "متوسط التسارع" بطرح السرعتين \Delta v=v(t_2) - v(t_1) المقاستين عند نقطتين زمنيتن مختلفتين t_1 و t_2 وقسمته على الفرق بين الزمنين \Delta t=t_2-t_1 ، فنحصل على :

\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

يمكن اعتبار متجه السرعة بأنه حاصل ضرب قيمة السرعة v في وحدة المتجه {\hat{t}} :

\vec{v}=v\,\hat{t}

وتعطي المشتقة التفاضلية لهذه المعادلة بالنسبة إلى الزمن "التسارع" . مشتقة تخص تغير المسافة s على المنحنى (مماس الفلك):

\vec{a}=\frac{\mathrm d\vec v }{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d(v\hat t)}{\mathrm dt}=\left( \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} \right)\hat t +v\left( \frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt} \right) mit \frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt}=\underbrace{\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm ds}}_{\hat n/\rho}\underbrace{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}_{v}=\frac{v}{\rho} \hat n

\vec a =a_{t}\hat{t}+a_{n}\hat n = \dot{v}\hat t +\frac{v^{2}}{\rho } \hat n

وفيها يعني \rho نصف قطر انحناء الفلك و \hat n هو وحدة المتجه عموديا على مماس الفلك ، أي المتجه إلى المركز .

يمكن تقسيم التسارع \vec a إلى تسارع في أتجاه الحركة "تسارع في اتجاه المماس" ،

a_{t}=\dot{v}

و "تسارع عمودي عليه " في اتجاه المركز :

a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho }

وهنا نلاحظ أن :a_{t}=\dot{v} لها الوحدة متر/ثانية/ثانية ، أي أنها وحدة تسارع. وبالمثل نجد أن :a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho } أيضا لها الوحدة متر/ثانية/ثانية أي أنها هي الآخرى تعبر عن تسارع .

وتذكرنا تلك الحركة بحركة المقلاع ، وهي الفكرة وراء جهاز الطردالمركزي.
مثال السقوط الحر

من الأمثلة على التسارع، تسارع سقوط الأجسام تحت تأثير الجاذبية. فعلى الأرض مثلا، إذا تركت جسما ليسقط بشكل حر من ارتفاع ما، فإن سرعته لحظة تركك له تساوي صفرا، ولكنه يصل إلى الأرض بسرعة تزيد على الصفر. فكلما ازداد الزمن الذي يمر أثناء سقوط الجسم ، فإن سرعته تزداد ، وذلك بإهمال مقاومة الهواء. وتم قياس تسارع الجاذبية الأرضية فوجد أنه يساوي 9.8 م/ث2، أي أن كل ثانية تمر، تزداد سرعة الجسم الساقط بمقدار 9.8 م/ثانية وتسمى عجلة السقوط الحر. يرمز لتسارع السقوط الحر بالرمز 1 "جي" (1 g ).
أمثلة أخرى للتسارع

يرمز للتسارع أثناء السقوط الحر على الأرض مع إهمال مقاومة الهواء بالرمز g ، وهي تساوي 9,81 m/s2. أي أن جسماً ساقطاً حراً تصل سرعته إلي 100 كيلومتر في الساعة بعد مرور 2.83 ثانية أثناء سقوطه.
عند قيادة الدراجة قد نبدأ التسارع ب 1 متر/ثانية/ثانية ، أما الرياضيون فيسرعونها بتسريع يبلغ 2 متر/ثانية/ثانية.
تسرع السيارة المتوسطة بتسارع 5 m/s² ، أما السيارات الكبيرة فتسرّع 6 m/s² .
عند كبح السيارة ينشأ تسارع سالب قد يصل 10 متر/ثانية/ثانية.
تسرع سيارة السباق بعجلة +6 g عند القيام وتكبح بعجلة −6 g.
تسرع الطائرة بوينغ 747 بعجلة مقدارها 1.6 متر/ثانية/ثانية.
يبدأ العداء في السباق بعجلة 4 متر/ثانية/ثانية.
يقذف رامي الجلة الجلة بعجلة تصل إلى 10 متر/ثاثية/ثانية.
عند إقلاع صاروخ يتعرض رائد الفضاء إلى عجلة مقدارها 7 g (أنظر القوة g)، كما يتعرض لكبح (عجلة سالبة) مقدارها -9 g عند العوده ودخوله الغلاف الجوي للأرض.
يُعجل الإلكترون في معجل جسيمات (في مجال كهربائي قدره 5.7 فولت بين لوحين على بعد 5 سنتيمتر بعجلة قدرها 2 مليارg )