ملخص لهندسة الدائرة

ملخص لهندسة الدائرة

1) إذا تساوت الأوتار ( أ حـ = هـ حـ) فإن:
1) تساوت الزوايا المحيطية المرسومة على أقواسها.
ق< ب = ق< د
2) تساوت الزوايا المركزية المرسومة على أقواسها.
ق<أ م حـ = ق<هـ م حـ
3) تساوي أبعادها عن المركز.
م و = م ن
4) تساوت أقواسها.
القوس أ ل حـ = القوس هـ ك حـ
لدينا هنا خمسة : وتر، قوس، زاوية محيطية، زاوية مركزية، بعد
تحقق أي منها يتحقق الأربع الآخرون.
* الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس
________________________________________
2) ل ن مماس للدائرة م فإن م ن (نصف القطر) يكون عمودياً على المماس ل ن أي: م ن ^ ل ن
3) حـ د وتراً في الدائرة م ، م هـ^ حـ د فإن هـ منتصف حـ د والعكس صحيح أي:

هـ منتصف حـ د فإن م هـ^ حـ د
4) أ ب قطراً في الدائرة م فإن ق<(أ ك ب) = 90ه
5) ل ن مماس للدائرة م، ل س ك قاطع للدائرة م فإن: (ل ن)2 = ل س × ل ك
6) تسمى زاوية أم ن مركزية والزاوية أ ك س بالمحيطية
7) أي مستقيم في مستوى الدائرة أما أن:
يقطع الدائرة في نقطيتين فهو وتر
يقطع الدائرة في نقطة فهو مماس
لا يقطع الدائرة فهو خارجها
أي نقطة في مستوى الدائرة أما أن:
تكون داخلها فيكون بعدها عن المركز أقل من نصف قطر الدائرة
تكون على محيطها فيكون بعدها عن المركز يساوي نصف قطر الدائرة
تكون خارجها فيكون بعدها عن المركز أكبر من نصف قطر الدائرة
9) أي ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة تمر بها محيطة دائرة واحدة فقط
________________________________________
10) المستقيم العمودي على نصف قطر الدائرة عند نهايته يكون مماساً للدائرة.
أ ب ^ نق ( أ م )
11) لا يمكن رسم سوى مماس واحد فقط من نقطة على محيط الدائرة.
مثل المماس أ ب

12) العمود المقام على المماس من نقطة تماسه مع الدائرة يمر بمركز الدائرة
مثل أ م
13) العمود النازل من مركز الدائرة على المماس يمر بنقطة التماس.
أ م عمودي على المماس أ ب عند نقطة أ

14) إذا رسم مماسان من نقطة خارج الدائرة فإن:
أ) المماسان متساويان ( ل ك = ل ن )
ب) يحصران عند المركز زاويتان متساويتان ( < ل م ك = < ل م ن )
حـ) يميلان بزاويتين متساويتين على المستقيم الواصل من النقطة لمركز الدائرة ( < م ل ك = < م ل ن )

15) الزاوية المحصورة بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية
المرسومة على الوتر
والعكس صحيح
< ب أ ص = < أ س ص
16) إذا تماس محيطا دائرتين فإن نقطة التماس تقع على خط المركزين

17) إذا كانت الدائرتان متماستان من الخارج
فإن البعد بين المركزين يساوي مجموع نصفي قطريهما.

18) إذا كانت الدائرتان متماستان من الداخل

فإن البعد بين المركزين يساوي الفرق بين نصفي قطريهما.
19) المماس المشترك لدائرتين هو المار المستقيم المار بنقطة تماسهما

20) المماس المشترك لدائرتين يكون عمودياً
على خط المركزين.
21) المماسان المرسومان من نقطة واحدة للدائرة متساويان و أ = و هـ

22) الزاوية المحصورة بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية المرسومة
على هذا الوتر ق<(و أ ب) = ق<(أ حـ ب)
23) في الشكل الرباعي الدائري أ ب حـ د يكون:
أب × حـ د + ب حـ × أ د = أ حـ × ب د

كل زاويتين متقابلتين مجموعهم 180ه والعكس صحيح

24) الزوايا المحيطية المرسومة على قوس واحد متساوية

25) المماسان المرسومان من طرفي قطر للدائرة متوازيان

26) المستقيم الواصل من نقطة و لمركز الدائرة ينصف زاوية و

27) في المثلث القائم إذا أنزل عمود من رأس القائمة على الوتر فإن
مربع العمود = حاصل ضرب جزئي الوتر
أ قائمة ، أ د عمودي علي ب حـ ( أ د )2 = ب د × حـ د
، ( أ ب )2 = ب د × ب حـ ، ( أ حـ )2 = حـ د × حـ ب

الجذور


الجذر عبارة عن عدد يضرب في مثله فيأتي منه المطلوب جذوره ، مثلا
10*10=100 فالعشرة التي هي جذر تكون أصلا للمائة .
أما التجذير فهو طلب عدد يساوي حاصل ضربه في نفسه ، ويقال للمضروب جذر و للحاصل مجذور و مربع ، فالعشرة في المثال السابق جذر و المائة مجذور.

و يعتبر الخوارزمي أول من استعمل لفظة جذر رياضيا ، و عن العرب أخذ الغرب هذا الإصطلاح حيث إن علماء الإغريق لم يهتدوا إلى استعماله في أعمالهم الرياضية بل كانوا يستعملون اصطلاح (ضلع العدد المربع) .
و قد كان تعبير جذر الذي أوجده العرب خير ما يمثل المعنى الذى يقصده لأنه اعتبر العدد كالنبات ينمو من جذور ، فمثلا اعتبروا العدد (16) نابتا من الجذر (4) . لقد ساعدت جملة من العوامل على تقدم العرب و تفوقهم في مجال دراسة الجذور ، و تأتي في مقدمتها نجاحهم في توحيد و تهذيب الأرقام و استخدام الصفر إضافة إلى معرفتهم المتقدمة لخصائص الأعداد الفردية و الزوجية و ما بينها من العلاقات .

لقد قسم العرب الأعداد المراد استخراج جذورها تبعا للنتائج الحاصلة من عملية التجذير و ذلك إلى :
1- الجذر المنطق : و هو الجذر غير الأصم الذي يمكن استخراج جذوره بصورة مضبوطة (بدون كسر) مثل :الجذر التربيعي (81)=9
2- الجذر غير المنطق : و هو الجذر الأصم و يكون بخلاف الجذر المنطق فإنه لا يمكن الوصول إلى حقيقة جذره لكن يؤخذ بالتقريب.
مثل : الجذر التربيعي(10) =(1/6)3 . ومما تجدر الإشارة إليه في هذا الصدد أنه عندما تكون قوة الجذر عددا زوجيا يجب أن يكون ناتج الجذر عددا موجبا مثال
الجذر الرابع ل(16) = +2
وعندما يكون المجذور سالبا فإننا نأخذ القيمة الموجبة مثال
الجذر الرابع ل(-16) = +2

في حين أنه عندما تكون قوة الجذر عددا فرديا فإن إشارة ناتج الجذر نفس إشارة المجذور مثال
الجذر الثالث ل( = +2
الجذر الثلث ل(- = -2


ومما تجدر الإشارة إليه في هذا الصدد أنه عندما تكون قوة الجذر عددا زوجيا يجب أن يكون ناتج الجذر عددا موجبا مثال
الجذر الرابع ل(16) = +2
وعندما يكون المجذور سالبا فإننا نأخذ القيمة الموجبة مثال
الجذر الرابع ل(-16) = +2

في حين أنه عندما تكون قوة الجذر عددا فرديا فإن إشارة ناتج الجذر نفس إشارة المجذور مثال
الجذر الثالث ل( = +2
الجذر الثلث ل(- = -2