المتجهات

الشكل 1
في الرياضيات، وبشكل خاص في التحليل الشعاعي، المُتّجِه[1] هو سهم يتجه من نقطة إلى أخرى. يتحدد كل شعاع في الرياضيات بثلاث عناصر : شدة الشعاع، وهي كمية قياسية تدل على طول الشعاع، اتجاه الشعاع يمكن تحديده في فضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق زوايا اويلر، ونقطة التطبيق وهي النقطة التي ينطلق منها الشعاع. ومع أن الشعاع يوصف بدلالة أرقام بعضها تعتمد على نوع جملة الإحداثيات، فإن الشعاع أو المتجة كما يسمى أيضًا لا يعتمد على جملة الإحداثيات.

المثال المشهور للأشعة هو القوة الفيزيائية، فهي تملك شدة واتجاه في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تطبيق، كما تتبع قاعدة جمع الأشعة (حسب قاعدة متوازي الأضلاع) عندما نريد جمع قوى متعددة.

يشار إلى المتجهات عادة بحروف صغيرة ثخينة، مثل a أو مائلة أيضا مثل a (تمثل الحروف الكبيرة عادة المصفوفات). كما يصطلح على كتابتها أو a عند كتابتها باليد. إذا كان المتجه يمثل إزاحة من النقطة A إلى النقطة B كما في الشكل، يرمز عندها له بـ أو AB. يستخدم رمز القبعة (^) للإشارة إلى متجهات الوحدة، كما في .

للقوة متجه طوله يبين مقدارها واتجاه المتجه تمثل إتجاه القوة.

تظهر المتجهات في المخططات والرسومات كأسهم (قطع مستقيمة موجهة)، كما هو موضح في الشكل. تسمى هنا النقطة A المبدأ، وتسمى النقطة B الرأس. يتناسب طول السهم مع مقدار المتجه، بينما يشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه.



ونحتاج في المخططات ثنائية البعد إلى ترميز المتجه بدوائر صغيرة (كما في الشكل جانبا)، حيث تكون بعض المتجهات عمودية على مستوي المخطط. يرمز للمتجه بنقطة داخل دائرة صغيرة عندما يكون المتجه متجها خارج المخطط باتجاه المشاهد. بينما يرمز له بدائرة مرسوم في داخلها إشارة الضرب عندما يكون المتجه متجها إلى داخل المخطط. ويمكن تذكرها باعتبار النقطة هي منظر لرأس السهم، وإشارة الضرب هي منظر لذيل السهم (الريشة).



متجه في نظام إحداثي ديكارتي، يوضح موضع النقطة A مع الإحداثيات (2،3)

قد يكون التمثيل البياني من أجل حساب المتجهات متعبًا ومعقدًا. فالمتجهات في الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد يمكن أن تمثل في نظام إحداثي ديكارتي. يمكن تعيين نهاية المتجه بوضعها في قائمة مرتبة من الأعداد الحقيقية.

وكمثال في الفضاء ثنائي الأبعاد (الشكل جانبا)، يكتب الشعاع المتجه من مبدأ الإحداثيات O = (0,0) إلى النقطة A = (2,3) بالشكل

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (أو )، تعرف المتجهات بثلاثة أرقام تمثل الإحداثيات الديكارتية لنقطة النهاية (a,b,c):


توضع هذه الأعداد غالبا في متجه عمود أو متجه سطر، وخصوصا عندما نتعامل مع المصفوفات، كالتالي:



الطريقة الأخرى لتمثيل المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي باستخدام متجهات الوحدة الأساسية الثلاث:


وفق هذا الاصطلاح، يكتب أي متجه في الفضاء الشعاعي ثلاثي الأبعاد بالشكل:


في دروس الفيزياء التمهيدية، تستبدل هذه المتجهات الثلاث بـ (أو )، ولكن تعارض هذه التسمية مع دليل الترميز (Index notation) واصطلاح تجميع (summation convention) المستخدمين في المستويات المتقدمة في الرياضيات، والفيزياء والهندسة.

خصائص أساسية

المقطع التالي يستخدم نظام إحداثي ديكارتي مع متجهات وحدة أساسية


ويفترض أن جميع المتجهات تبدأ من مركز الإحداثيات O. يكتب المتجه a على الوجه التالي:


[عدل]تساوي المتجهات
يقال عن متجهين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه. وعلى هذا الوجه تكون المتجهات متساوية إذا تساوت إحداثياتها. فالمتجهين:


و


متساويين إذا تحقق


[عدل]جمع المتجهات وطرحها
ليكن

a=a1e1 + a2e2 + a3e3
و
b=b1e1 + b2e2 + b3e3,

حيثe1،e2، e3 هي متجهات الوحدة متعامدة.



الشكل 2: جمع المتجهات
إن مجموع a وb هو:


ويمكن تمثيل جمع المتجاهات بشكل بياني بوضع بداية المتجه b عند نهاية المتجه a، ثم رسم متجه من بداية المتجه a إلى نهاية المتجه b. يمثل المتجه الجديد المرسوم a + b، كما هو مبين في الشكل 2.

تسمى طريقة الجمع هذه بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a وb يشكلان أضلاع متوازي الأضلاع.

طرح a وb هو:


يمكن تمثيل طرح الأشعة بيانيًا أيضًا كما يلي: لطرح b من a، نضع نهاية a وb عند نفس النقطة، ثم يرسم سهم من نهاية b إلى نهاية a. يمثل هذه المتجه الجديد a − b، كما هو موضح في الشكل 3.



الشكل 3: طرح المتجهات a وb

متجهات وغير المتجهات

أمثلة لكميات متجهة :

قوة
المسافة
السرعة
التسارع
أمثلة لكميات غير متجهة ( لا يمكن تمثيلها بمتجه) :

الطاقة
الزمن
الكثافة
اللزوجة
الحرارة

جمع متجهات

محصلة متجهين متساويين ومتضادين تساوي صفرا . يمكن جمع المتجهات بطريقة متوازي أضلاع القوى الذي يتبع أحد قوانين الميكانيكا الذي ينص على أن:" إذا عملت قوتان في نقطة فيمكن أن يعبر عنهما بقوة واحدة." تسمى تلك القوة "محصلة". عمليا نقوم برسم متجهين للقوتين (أي نختار طول معين لكل منهما ) ونمثل اتجاهيهما بسهمين . نرسم متوازيان للسهمين فيكمل تقاطعهما شكل متوازي الأضلاع. المحور الواصل ينقكة تأثير القوتان والنقطة المقابلة على متوازي الأضلاع هي محصلة القوتين ، واتجاه المحصل يكون بادئا مننقطة تاثير القوتين .

معكوس تلك العملية يسمى تحليل قوة ، حيث نجزيء متجها للقوى إلى مركبتين عموديتان على بعضهما البعض ، فإذا عرفنا اتجاه تأثير المركبتين نستطيع تعيين مقدار كل منهما .

يمكن تعميم هذه الطريقة للحصول على محصلة عدة قوي ، ثلاثة أو أربعة أو أكثر... فيما يسمى مضلع القوى .

جمع قوتان بالرسم البياني

نفترض أن قوتين تؤثر على جسم . يمكننا بواسطة الرسم البياني تعيين المحصلة ، كالآتي:

نرسم القوتان كسهمين بمقياس رسم معين ، من حيث المقدار والاتجاه ،
نرسم من رأس السهم الأول خطا موازيا للسهم الثاني ،
ونرسم من رأس السهم الثاني خطا موازيا للسهم الأول . يتقاع الخطان ويكتمل متوازي الأضلاع .
المحور الباديء من نقطة تأثير القوتين إلى نقطة تقاطع الخطين هي محصلة القوتين ، وتقوم مقامهما .

خطوة 1


خطوة 2


خطوة 3


خطوة 4


[عدل]مراجع

^ أو المتجهة أو الشعاع أو الحامل (يوافقه باللاتينية لفظ vector، من vehere بمعى حمل) - لغت نامه دهخدا
[عدل]اقرأ أيضا

متوازي أضلاع القوى
مضلع القوى
بوابة الرياضيات
تصنيفات: فيزياء تمهيديةتفاضل شعاعيمتجهاتحسبان متجهيجبر خطيمفاهيم فيزيائيةجبر تجريدي

جمع قوتان بالرسم البياني

نفترض أن قوتين تؤثر على جسم . يمكننا بواسطة الرسم البياني تعيين المحصلة ، كالآتي:

نرسم القوتان كسهمين بمقياس رسم معين ، من حيث المقدار والاتجاه ،
نرسم من رأس السهم الأول خطا موازيا للسهم الثاني ،
ونرسم من رأس السهم الثاني خطا موازيا للسهم الأول . يتقاع الخطان ويكتمل متوازي الأضلاع .
المحور الباديء من نقطة تأثير القوتين إلى نقطة تقاطع الخطين هي محصلة القوتين ، وتقوم مقامهما .

خطوة 1


خطوة 2


خطوة 3


خطوة 4


[عدل]مراجع

^ أو المتجهة أو الشعاع أو الحامل (يوافقه باللاتينية لفظ vector، من vehere بمعى حمل) - لغت نامه دهخدا
[عدل]اقرأ أيضا

متوازي أضلاع القوى
مضلع القوى
بوابة الرياضيات
تصنيفات: فيزياء تمهيديةتفاضل شعاعيمتجهاتح