معادلات لاغرانج

لنعتبر جسيما مفردا ذو كتلة m وشعاع موضع r. تطبق عليه قوة F، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذا النظام بجسيم يتحرك في بئر جهدي فتكون له طاقة حركة و أيضا طاقة وضع . نفترض أن الجهد المؤثر على الجسيم (V(r, t دالة تعتمد على الزمن t و المكان r (مثل جهد نواة الذرة التي تؤثر على إلكترون يدور حولها) :
\mathbf{F} = - \nabla V.
مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع r، لذا فإن قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث معادلات تفاضلية نظامية من الرتبة الثانية.
وبناء على ذلك يمكن وصف حركة هذا الجسيم بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى " درجات حرية ". درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :
{ rj, r′j | j = 1, 2, 3},
المركبات الديكارتية لمتجه الموضع r ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :
(vx,vy,vz).
بشكل أعم، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة ، qj, مع مشتقاتها الزمنية، أو ما يدعى بالسرعات المعممة، q′j.
يرتبط متجه الموضع r مع الإحداثيات المعممة عن طريق جملة معادلات تحويل
\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t).
فمثلاً عند التعامل مع بندول (نواس) بسيط ذو طول l، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية البندول التي يصنعها مع خطه الشاقولي (العمودي)، θ,
وتكون معادلات التحويل :
\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta).
مصطلح إحداثيات معممة أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.
لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δr فيكون الشغل المبذول من قبل القوة F هو :
δW = F · δr.
باستخدام قانون نيوتن الثاني يمكننا أن نكتب :
\begin{matrix}
\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & m\mathbf{r}'' \cdot \delta \mathbf{r}.
\end{matrix}
بما أن الشغل كمية فيزيائية قياسية (كمية وليست متجهه) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة والسرعات على الجانب الأيسر.

\begin{matrix}
\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}
& = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
& = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
& = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\
\end{matrix}
عملية تنسيق الجانب الأيمن أكثر صعوبة لكن بعد الترتيب والتبديل :

m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i
حيث هي الطاقة الحركية للجسيم T = 1/2 m r′ 2. ومعادلة الشغل المبذول ستصبح بالشكل :

\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0.
على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحاً بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δqi, لذا يكون لدينا :

\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0
من أجل أي من الإحداثيات المعممة δqi.
يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة V أن هو تابع ل r وt, ومتجه الموضع r تابع أيضاً للإحداثيات المعممة والزمن t لذا فإن الطاقة الكامنة V تكون مستقلة عن السرعات المعممة

{d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.
بإدخال هذا في المعادلة السابقة واستبدال L = T - V نحصل على معادلات لاجرانج :

{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}.
هناك دوماً معادلة لاجرانج وحيدة لكل إحداثي معمم qi. وعندما يكون qi = ri (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية), عندئذ نستطيع بسهولة إختزال معادلة لاجرانج إلى قانون نيوتن الثاني.
الإشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من N جسيم. عندئذ يكون هناك 6N إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3N. في معادلات لاجرانج 3N يكون دوماً T هو الطاقة الحركية الكلية للجملة، وV الطاقة الكامنة الكلية.