وصف الظاهرة ومعادلة كومبتون

في عام 1923، قام كومبتون بنشر ورقة فسرت التغير في طول موجة أشعة إكس، عازياً هذا التغير بأن الضوء يسلك سلوك الجسيم وهذا ما قد ذكره آينشتاين عندما فسر الظاهرة الكهروضوئية التي حصل منها على جائزة نوبل في الفيزياء. وقد افترض (بناءً على افتراض بلانك)، أن هذه الجسيمات هي عبارة عن حزم تحتوي على كمية معينة من الطاقة يعتمد على تردد الضوء. وقد اشتق كومبتون في هذه الورقة العلاقة الرياضية التي تربط التغير في طول الموجة مع زاوية التشتت لأشعة إكس بافتراض أن كل فوتون تفاعل مع إلكترون واحد فقط. وقد اختتم ورقته بذكر التجارب التي تحقق باستخدامها من علاقته الرياضية التالية:
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1-\cos{\theta}),
حيث
\lambda هي طول موجة الشعاع الساقط
و \lambda' هي طول موجة الشعاع المتشتت
و h هو ثابت بلانك
و m_e هي الكتلة السكونية للإلكترون
و c هي سرعة الضوء في الفراغ
و \theta هي زاوية التشتت (الانعكاس)
ويعرف المقدار {h}/{m_e c} بطول موجة كومبتون للإلكترون: وهي تساوي 2.43×10−12 م. ويساوي التغير في طول الموجة في أقل حالة صفراً (في حالة \theta =0°)، وفي أقصى حالة له يبلغ ضعف طول موجة كومبتون للإلكترون (في حالة \theta = 180°).
وقد وجد كومبتون أن بعض الأشعة لم تتعرض إلى تغير في طول موجتها على الرغم من انعكاسها بزاوية كبيرة؛ وعزى ذلك إلى أن الفوتون فشل في أن يحرر الإلكترون. ومن هنا فإن قيمة التغير لا تعتمد على طول موجة كومبتون للإلكترون، بل تعتمد على طول موجة كومبتون للذرة كاملة، والتي يمكن أن تصل إلى أصغر ب 10000 مرة من طول موجة الإلكترون.
اشتقاق العلاقة الرياضية[عدل]
إذا افترضنا فوتوناً \gamma بطول موجي \lambda يصطدم ب إلكترون e في الذرة، حيث يتم معاملة الإلكترون على أنه ساكن. يؤدي هذا التصادم إلى ارتداد الإلكترون، وينشأ فوتون جديد \gamma' بطول موجة {\lambda}' يظهر بزاوية \theta عن الفوتون الساقط، وباستخدام e' للدلالة على الإلكترون بعد التصادم. وقد افترض كومبتون أنه في بعض الحالات يمكن أن يتسبب التصادم إلى تسريع الإلكترون إلى ما يقارب سرعة الضوء، وهذه الحالة تستوجب تطبيق معادلة آينشتاين في النسبية لتفسير الطاقة والزخم بصورة صحيحة.
وفي اختتام ورقته عام 1923، ذكر كومبتون نتائج التجارب التي تؤكد معادلته للتشتت، وبالتالي دعم افتراض أن الفوتونات تحمل زخماً فضلاً عن الطاقة المكممة. وفي بداية اشتقاقه، عبر كومبتون عن زخم الفوتون من خلال مساواة معادلة آينشتاين للعلاقة بين الكتلة والطاقة E=mc^2 مع معادلة الطاقة للفوتون h f التي كان آينشتاين قد افترضها من قبل. فإذا كانت mc^2 = hf، فإن الكتلة المكافئة لطاقة الفوتون يجب أن تكون hf/c^2. ومن هنا يصبح زخم الفوتون هو حاصل ضرب هذه الكتلة بسرعة الضوء c. فيصبح زخم الفوتون مساوياً ل p=hf/c. ويعتبر الاشتقاق الموجود في ورقة كومبتون موجز أكثر من هذا ولكنه يتبع نفس النظام في تسلل الاشتقاق.
من مبدأ حفظ الطاقة، فإن مجموع الطاقات قبل التشتت تساوي مجموع الطاقات بعد التشتت.
E_\gamma + E_e = E_{\gamma'} + E_{e'}.\!
وقد أشار كومبتون إلى أن الفوتون يحمل زخماً؛ إذاً ومن مبدأ حفظ الزخم، فإن زخم الجسيمات يجب أن يكون متساوياً ضمن العلاقة
\mathbf{p}_\gamma = \mathbf{p}_{\gamma'} + \mathbf{p}_{e'},
حيث أن ({p_e}) يتم إهمالها بافتراض أن قيمتها تساوي صفراً.
ترتبط طاقة الفوتون بالتردد ضمن العلاقة
E_{\gamma} = hf\!
E_{\gamma'} = hf'\!
حيث h هو ثابت بلانك
قبل حدوث التشتت، تتم معاملة الإلكترون على أنه ساكن، وبالتالي فإن الطاقة الكلية للإلكترون تتألف بشكل كامل من طاقته المكافأة لكتلته السكونية m_e :
E_e = m_ec^2.\!
بعد التشتت، احتمال أن يتسارع الإلكترون إلى سرعة قريبة من سرعة الضوء، يتطلب أن يتم تمثيل طاقة الإلكترون الكلية باستخدام العلاقة النسبية للطاقة والزخم:
E_{e'} = \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (m_ec^2)^2}.
وبتعويض هذه القيمة في معادلة حفظ الطاقة، نحصل على
hf + m_e c^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (m_e c^2)^2}.
ويمكن استخدام هذه العلاقة لإيجاد قيمة الزخم للإلكترون المتشتت
p_{e'}^{\, 2}c^2 = (hf - hf' + m_{e}c^2)^2-m_{e}^2c^4. \qquad\qquad (1) \!
لاحظ أن الزخم الذي اكتسبه الإلكترون يتجاوز قيمة الزخم الذي فقده الفوتون
\frac{1}{c}\sqrt{(hf - hf' + m_{e}c^2)^2-m_{e}^2c^4} > \frac{hf - hf'}{c}.
المعادلة رقم واحد تعطي العلاقة بين الطاقات المختلفة المصحوبة بالتصادم. ويشمل التغير في زخم الإلكترون على تغير نسبي في كتلة الإلكترون، لذا لا يوصف التغير في الزخم من خلال التغير في الطاقة على النحو الذي تصفه الفيزياء الكلاسيكية. ولا يوصف التغير في زخم الفوتون من خلال التغير في الطاقة، ولكنه يشمل على تغير في الاتجاه أيضاً.
ويعطي التعبير عن حفظ الزخم لزخم الإلكترون المتشتت العلاقة التالية:
\mathbf{p}_{e'} = \mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}.
ثم ومن خلال استخدام الضرب النقطي
\begin{align}
p_{e'}^{\, 2} &= \mathbf{p}_{e'}\cdot\mathbf{p}_{e'} = (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \cdot (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \\
&= p_{\gamma}^{\, 2} + p_{\gamma'}^{\, 2} - 2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta. \end{align}
وباستبدال p_{\gamma}c ب h f وضرب الطرفين ب c^2:
p_{e'}^{\, 2}c^2 = p_{\gamma}^{\, 2}c^2 + p_{\gamma'}^{\, 2}c^2 - 2c^2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta.
وبعد استبدال قيمة زخم الفوتون ب h f/c، نحصل على تعبير آخر لقيمة الزخم للإلكترون المتشتت:
p_{e'}^{\, 2}c^2 = (h f)^2 + (h f')^2 - 2(hf)(h f')\cos{\theta}. \qquad\qquad (2)
وبمساواة التعبيرين عن زخم الإلكترون نحصل على
(hf - hf' + m_e c^2)^2 - m_e^{\, 2}c^4 = \left(h f\right)^2 + \left(h f'\right)^2 - 2h^2 ff'\cos{\theta}. ,
والتي بعد فك الأقواس ثم حذف وترتيب الأطراف تعطينا
2 h f m_e c^2 - 2 h f' m_e c^2 = 2 h^2 f f' \left( 1 - \cos \theta \right). \,
وبعدها قسمة الطرفين على 2 h f f' m_e c فينتج
\frac{c}{f'} - \frac{c}{f} = \frac{h}{m_ec}\left(1-\cos \theta \right). \,
وأخيراً بما أن