تطور معادلة شرودنغر

بعد اكتشاف ماكس بلانك لكمومية الضوء (انظر اشعاع الجسم الأسود) وتفسير أينشتاين بأن تسمية "الكم " quanta الذي استخدمها بلانك هو عبارة عن فوتون أو "جسيم ضوئي" ، واقترح اعتبار أن تكون طاقة الفوتون متناسبة مع تردده ، فكانت تلك الفكرة من أول الافتراضات الخاصة بازدواجية الموجة والجسيم.
ونظرا لكون الطاقة وزخم الحركة ينتسبان إلى التردد والعدد الموجي في النظرية النسبية الخاصة ، فينتج عن ذلك أن زخم الحركة p للفوتون يكون متناسبا طرديا مع عدده الموجي k.
p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k
وافترض لويس دي برولي أن هذا ينطبق على جميع الجسيمات ، بما فيها الإلكترون. وبين انه بافتراض أن الموجة المادية تتقدم مزاملة لجسيمها ، فإن الإلكترون يكوّن موجة راكدة ، بمعنى أنه يحتوي على ترددات زاوية منفصلة فقط حول النواة الذرية وهي التي تكون مسموحة له باتخاذها .[2]
تلك المدارات الكمومية في الذرة تنتمي إلى مستويات طاقة منفصلة (أي لها قيم خاصة ذاتية)، واستطاع دي برولي تفسير نموذج بور للبنية الذرية وما تحويه من مستويات للطاقة. وكان نموذج بور معتمدا على التصور الكمومي للزخم الزاوي (أي تكون له قيم خاصة ذاتية) :
L = n{h \over 2\pi} = n\hbar.
وطبقا ل "دي برولي " يوصف الإلكترون بموجة ذات عدد صحيح من طول الموجة ، وأنه في الذرة لا بد وأن يناسب العدد الموجي محيط مدار الإلكترون:
n \lambda = 2 \pi r.\,
ولكن هذا الافتراض يحصر موجة الإلكترون في بُعد واحد ويدور في مدار دائري.
وابتداء من تلك الافتراضات علّق الفيزيائي بيتر ديباي بأنه إذا كان الجسيمات تتصرف بخصائص الموجات فلا بد لها أن تفي بنوع من أنواع دالة موجية. ومن ذلك التعليق الذي قدمه "ديباي" حاول شرودنجر التوصل إلى معادلة موجية في ثلاثة أبعاد تنطبق على الإلكترون. واستعان بما قام به هاميلتون من بيان التناظر بين ميكانيكا الأجسام وخواص الضوء والذي يتمثل في المشاهدة أن الحد الصفري لطول الموجة (أي عندما يصل طول الموجة إلى 0) يعادل حالة نظام في الميكانيكا الكلاسيكية.[3]. وتوصل شرودنجر إلى المعادلة :[4]