تحويل ليجاندر في حالة عدة متغيرات

يتغير اعتماد دالة f(x,y) تعتمد على المتغير x إلى متغير آخر u عن طريق التفاضل الجزئي للدالة f بالنسبة إلى x كالآتي:
u = \frac{\partial f}{\partial x}.
ويمثل فيها u(x,y) الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة f(x,y) .
ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة F(u,y)
"دالة ليجراند المحولة" .
ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة f(x,y) على الصورة :
f(x,y) \approx f(x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x,\; \Delta x = x-x_0
وإذا عرّفنا f(x_0,y) \equiv F(u,y), حصلنا على دالة ليجراند المحولة :
F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x.
في أغلب أحوال توضع x_0 = 0 ونحصل على :
F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} x.
بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء y لنقطة المماس على f(x,y) مع اتخاذ المستوي x=0 هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .
أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة u x من الدالة الأصلية :
F(u,y) = f(x,y) - u x.
ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :
\mathrm{d}(f(x,y) - u x) = \mathrm{d}f(x,y) - x\,\mathrm{d}u - u\,\mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}F(u,y).