دالة هاميلتون ودالة لاغرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج \mathcal L(t,q,\dot q) التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , \dot q=(\dot q_1,\dot q_2\dots \dot q_n) :
\mathcal H(t,q,p)= \sum_{k=1}^n \dot q_k\, p_k - \mathcal L(t, q,\dot q)
نجد على اليمين السرعات \dot q التي تؤول إلى الدوال \dot q(t,q,p) عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :
p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k}
واستنباطها من السرعات.
وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :
\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}
\mathbf p=\frac{m \dot \mathbf q}{\sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}}
أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .
وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :
\dot\mathbf q=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}
وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .
\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} \,.
كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة \mathcal H(t,q,p) كدالة للمعاملين q و p .