معادلة هاميلتون

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) \mathcal H(t,q,p) هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وعي معادلة تعتمد على الزمن t و إحداثيات الوضع q=(q_1,q_2\dots q_n) و زخم الحركة لكل الجسيمات p=(p_1,p_2\dots p_n) .
عند دراسة حركة جسيم كتلته m يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:
\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)
أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:
E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4
حيث c سرعة الضوء ,
وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :
\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}\,.
في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.