تفسير ذرة الهيدروجين

حيث :
e شحنة الإلكترون,
r بُعد الإلكترون عن النواة (|\mathbf{r}| =r),
الجزء الممثل للجهد هو الجهد الكهربائي ، وفيه
\epsilon_0 السماحية الكهربائية في الفراغ ،
\mu = \frac{m_em_p}{m_e+m_p}
والأخيرة هي الكتلة المخفضة المكونة من نواة الهيدروجين (وهي بروتون واحد) كتلتها m_p وكتلة الإلكترون m_e. ومعنى الإشارة السالبة ،أنه يوجد تجاذب بين شحنة النواة الموجبة وشحنة الإلكترون السالبة. ونأخذ الكتلة المخفضة في الاعتبار حيث يتحرك كل من النواة والإلكترون جول مركز الثقل ، فهما يكونان نظاما مكون من جسمين. وحركة الإلكترون هي التي تهمنا حيث كتاته هي الأصغر.
وتشكل الدالة الموجية للهيدروجين هي دالة لموقع الإلكترون ويمكن فصلها إلى ثلاثة دوال في الاتجاهات الثلاث.[7] ويتم ذلك للسهولة بتطبيق النظام الإحداثي الكروي:
\psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y_\ell^m(\theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)
حيث :
R دوال شعاعية ،
\scriptstyle Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) \, توافقية كرية من الدرجة \ell والنوع m.
وتلك هي الذرة الوحيدة التي حلت لها معادلة شرودنجر بدقة. أما بالنسبة إلى الذرات الأخرى المحتوية على أكثر من إلكترون واحد فهي تتطلب طرق تقريبية نابعة من معادلة شرودنجر. مجموعة الحلول هي:[8]
\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right)}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3} } e^{- r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)
حيث:
a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} نصف قطر بوهر,
L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\cdots) كثيرة حدود لاجير العامة من الدرجة n-\ell-1 .
n, \ell, m عدد كم رئيسي, عدد كم مداري, وعدد كم مغناطيسي، وهم يتخذون القيم :
\begin{align} n & = 1,2,3 \cdots \\
\ell & = 0,1,2 \cdots n-1 \\
m & = -\ell\cdots\ell
\end{align}
ينطبق هذا الحل تماماً مع قياسات طيف ذرة الهيدروجين ، وكان ذلك نجاحاً عظيماً لمعادلة شرودنجر والتي أيدت طريقة ميكانيكا المصفوفات الكمية التي اتبعها هايزنبرج قبله بثلاثة سنوات عام 1923، بذلك أعتلت ميكانيكا الكم مكانتها كواحدة من أعظم النظريات الفيزيائية.
ومن الجدير بالذكر أن خلال السنوات التالية اكتشف بأن الإلكترون يدور حول محوره أي أن له عزم مغزلي ، واكتشفت تلك الظاهرة من إنشقاق خطوط الطيف للعناصر ، فكان ذلك داعياً لإدخال عدد كم مغزلي وأكتملت الأعداد الكمية الخاصة بذرة الهيدروجين وكذلك لكافة الذرات المعروفة، وأصبحت الأعداد الكمومية كالآتي :
عدد كم رئيسي n
عدد كم مداري \ell
عدد كم مغناطيسي m_\ell
عدد كم مغزلي