حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد

يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}\ \text{with}\
\omega = \left|\mathbf k\right| c
تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة c في الاتجاه \mathbf k.
ويكون حلها العام على الصورة :
u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}
وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية .
يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة u(t,\mathbf x) و مشتقتها بالنسبة للزمن كانتا \phi و \psi عند t=0 ، نحصل على:
u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,\
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,,
ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن c=1 للتبسيط):
u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])
وفيها تعني :

M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int_{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\,
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\theta, \varphi))\quad \text{with}\quad
\mathbf n(\theta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta
\end{pmatrix}
القيمة المتوسطة للدالة \chi\,, وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة \mathbf x بنصف القطر |t|\!\, . ويصبح :
M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.
وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن t عند المكان \mathbf x على القيمة المبيدئية فقط للمكان \mathbf y والتي نصل بها إلى \mathbf x خلال الفترة الزمنية |t| بسرعة الضوء c=1 .