حل المعادلة الموجية في بعد واحد

يمكن صياغة المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد كالآتي:
\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0
هذه الموجة تنتشر في بعد واحد وهو المحور السيني x ، والحل العام لهذه المعادلة هو:
u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)
وهي تتكون من دالتين f(x)\, و g(x)\, قابلتين للتفاضل مرتين . وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين . ويمكن كتابة تلك الدالتين f و g كدالات جيبية خطية :
\cos(k x - \omega t + \varphi)
أو كدالات أسية مركبة :
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,
u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}
ويعتمد التردد :
\omega = |k|\,c
على القيمة المطلقة للعدد الموجي |k|\, .
يحتوي المطال المركب a(k) على طور الموجة \varphi{(k)} .